PONOVIMO GRADIVO

Leptir
Krilima raspršuje
tišinu.
             Zvonko Petrović

SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA C

Koje skupove brojeva poznaješ?

♣

Skup prirodnih brojeva N, skup cijelih brojeva Z, skup racionalnih brojeva Q, skup realnih brojeva R i skup kompleksnih brojeva C.

Može li kvadrat realnog broja biti negativan broj?

♣

Kvadrat realnog broja ne može biti negativan broj. Može samo biti pozitivan broj ili jednak nuli.

Ima li realnih rješenja jednadžba x2 + 1 = 0?

♣

Jednadžba x2 + 1 = 0 nema rješenja u skupu realnih brojeva.

Što je rješenje jednadžbe x2 + 1 = 0?

♣

Rješenje jednadžbe x2 + 1 = 0 je broj i koji nazivamo imaginarnom jedinicom.

Kako glasi definicija broja i?

♣

Imaginarna jedinica je takav broj za koji vrijedi

i2 = -1.

Koje su osnovne potencije broja i?

♣

Četiri osnovne potencije broja i su:

i0 = 1    ,    i1 = i    ,    i2 = -1    ,    i3 = -i

Pitanje: Kako glasi Pitagorin poučak?


Pitanje: Kako glasi Talesov poučak?

Kako se zove umnožak realnog broja y i imaginarne jedinice i?

♣

Umnožak yi realnog broja y i imaginarne jedinice i zovemo imaginarnim brojem.
Imaginarni brojevi su, na primjer, 3i, -5i, 0.4i, -2.5i, itd.

Kako glasi algebarski (standardni) oblik kompleksnog broja?

♣

Kompleksan broj je broj oblika

z = x + yi

Ovaj prikaz naziva se algebarski (standardni) prikaz kompleksnog broja.

Zadan je kompleksan broj z = x + yi. Kako se naziva broj x, a kako broj y?

♣

Broj x je realni dio kompleksnog broja z. Pišemo x = Re z.

Broj y je imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo y = Im z.

Kada su jednaka dva kompleksna broja?

♣

Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako im se podudaraju realni i imaginarni dijelovi. Simbolično:

z = a + bi , w = c + di

z = w    ⇔   a = c , b = d.

Kako se definira zbroj, razlika i umnožak kompleksnih brojeva?

♣

Neka su z = a + bi, w = c + di bilo koja dva kompleksna broja.

Zbroj:

z + w = (a + c) + (b + d)i

Razlika:

z - w = (a - c) + (b - d)i

Umnožak:

z ∙ w = (ac - bd) + (ad + bc)i

Kako glase potencije imaginarne jedinice?

♣

Neka je k prirodan broj. Za potencije imaginarne jedinice i vrijedi:

i4k = 1    ,    i4k + 1 = i    ,    i4k + 2 = -1    ,    i4k + 3 = -i

Kako glasi definicija kompleksno konjugiranog broja?

♣

Neka je zadan kompleksan broj z = a + bi. Kompleksno konjugiran broj broja z razlikuje se samo u predznaku imaginarnog dijela.

Kompleksan broj:
z = a + bi

Kompleksno konjugiran broj:

Čemu je jednak umnožak kompleksnog broja i njemu konjugirano kompleksnog broja?

♣

(a + bi)(a - bi) = a2 + b2 = (Re z)2 + (Im z)2.

Kako se dijele dva kompleksna broja?

♣

Dva se kompleksna broja z = a + bi, w = c + di, w ≠ 0 dijele na sljedeći način:

Kako glasi recipročna vrijednost kompleksnog broja?

♣

Za kompleksan broj z = a + bi vrijedi:

Kako se definira modul (apsolutna vrijednost) kompleksnog broja?

♣

Modul kompleksnog broja z = a + bi definira se formulom:

Kako se definira kompleksna ili Gaussova ravnina?

♣

To je Kartezijeva ravnina gdje se na osi apscisa nalaze realni brojevi, a na osi ordinata imaginarni brojevi.

Kako se definira udaljenost kompleksnih brojeva?

♣

Ako su zadana dva kompleksna broja z = a + bi, w = c + di, tada se njihova udaljenost računa:

Koja svojstva ima operacija kompleksnog konjugiranja?

♣

Neka svojstva operacije kompleksnog konjugiranja su:

Koja svojstva ima modul kompleksnog broja?

♣

Modul kompleksnog broja ima sljedeća svojstva:

Koja su rješenja kvadratne jednadžbe?

♣

Razlikujemo tri slučaja:

ax2 + c = 0
ax2 + bx = 0
ax2 + bx + c = 0

Brojevi a, b i c su realni brojevi. Broj a mora biti različit od nule.
Broj a je vodeći koeficijent. Broj b je linearni koeficijent. Broj c je slobodni koeficijent.

Unesi koeficijente:

y =  x2 +  x +

x1, x2 =     +  korijen (  )   =  

x2+ x + = 0

x1=
x2=

Koji su osnovni trigonometrijski identiteti?

♣

Natrag         Slajd/Stop         Dalje

Kako glase definicije krivulja drugog reda?

♣

Kliknite na jednu od četiri male slike.

Kako glase teoremi o sukladnosti i sličnosti trokuta?

♣

Kako glasi Pitagorin poučak?

♣

Pitagorin poučak

natrag naslovnica matematika fizika članci odmor kontakt na vrh
Copyright (c) 2008. Mladen Halapa. This web-site helps secondary-school pupils to learn mathematics and physics. All rights reserved.
Diese Web-Seite hilft den Schülern, Mathe und Physik zu lernen.