PONOVIMO GRADIVO

Poljubac u
oko - vatromet
leptira.
             Vladimir Devidé

UREĐAJ U SKUPU REALNIH BROJEVA R

Koji je broj paran, a koji neparan?

♣


Rezultat

Kako se računa udaljenost dviju točaka u ravnini?

♣

Ako su zadane točke A(xA, yA) i B(xB, yB) formula je:

Udaljenost dviju točaka u ravnini
Točka A Točka B
(xA, yA) (xB, yB)

Kada je realan broj a manji od realnog broja b?

♣

Realan broj a manji je od realnog broja b ako je razlika b - a pozitivan realan broj.

Kako zapisujemo da je broj a manji od broja b?

♣

Zapisujemo:

a < b

Kako zapisujemo "a je manje ili jednako b"?

♣

Zapisujemo:

a ≤ b

Koja su svojstva uređaja?

♣

1.       Ako je a < b, onda za svaki realni broj c vrijedi

a + c < b + c.

2.       Ako je a < b, onda za svaki pozitivni realni broj c vrijedi

a * c < b * c.

3.       Ako je a < b i b < c, tada je

a < c .

Kako se nejednakost množi negativnim brojem?

♣

Ako je a < b, onda za svaki negativni realni broj c vrijedi

a * c > b * c.

Koju jednadžbu nazivamo linearnom?

♣

Jednadžba koju možemo elementarnim transformacijama svesti na oblik a * x = b, a ≠ 0, a, b ∈ R naziva se linearna jednadžba. Rješenje linearne jednadžbe a* x = b je realan broj x = b/a.

Koje su osnovne računska operacije?

♣

Operacije 1. stupnja su: zbrajanje i oduzimanje.
Brojevi koje zbrajamo zovemo pribrojnici, rezultat zbroj ili suma.
Broj od kojeg oduzimamo zovemo umanjenik. Broj koji oduzimamo zovemo umanjitelj, a rezultat je razlika.

Operacije 2. stupnja su: množenje i dijeljenje.
Brojevi koje množimo zovemo faktori.
Broj koji množimo nazivamo množenik, a broj s kojim množimo zovemo množitelj. Rezultat je umnožak ili produkt.
Broj koji dijelimo zovemo dijeljenik. Broj s kojim dijelimo zovemo djelitelj. Rezultat je količnik ili kvocijent.

Operacije 3. stupnja su: potenciranje, korjenovanje i logaritmiranje.
Svaka potencija ima bazu i eksponent.
Korijen se sastoji od radikanda (izraza pod korijenom) i eksponenta korijena.
Logaritam ima bazu i logaritmand (numerus).

Kako glasi Pitagorin poučak?

♣

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama.

Kako se definira apsolutna vrijednost realnog broja?

♣

Apsolutna vrijednost realnog broja x je realni broj koji označavamo s │x │, a koji je definiran ovako:

│x │ = x ako je x ≥ 0,

│x │ = – x ako je x < 0.

Koja su svojstva apsolutne vrijednosti?

♣

Svojstva apsolutne vrijednosti su:

Koji je odnos mjera obodnog i njemu odgovarajućeg središnjeg kuta?

♣

Mjera obodnog kuta jednaka je polovini mjere njemu odgovarajućeg središnjeg kuta.
Mjera središnjeg kuta dva je puta veća od mjere bilo kojeg njemu odgovarajućeg obodnog kuta:

α = 2 ∙ β

Mjere svih obodnih kutova koji odgovaraju istom središnjem kutu međusobno su jednake.

Koji je prvi udžbenik matematike na hrvatskom jeziku?

♣

Prvi udžbenik matematike na hrvatskom jeziku napisao je fra MIJO ŠILOBOD BOLŠIĆ.
Udžbenik "ARITHMETIKA HORVATSZKA" tiskan je u Zagrebu godine 1758.

Koji su hrvatski matematičari?

♣

Literatura:
1.   Žarko Dadić, Povijest ideja i metoda u matematici i fizici, Školska knjiga, Zagreb
2.   Ernest Stipanić, Putevima razvitka matematike, Vuk Karadžić, Beograd
3.   Matematičko fizički list, Zagreb
4.   Matka, Zagreb

Što je fraktal i tko mu je dao ime?

♣

Matematičar Benoit Mandelbrot začetnik je ideje o kaosu i fraktalima. Tvorac je sugestivnog naziva "fraktal" koji dolazi od latinskog pridjeva fractus, što znači razlomljen. Po njegovoj definiciji "fraktal je oblik načinjen od dijelova sličnih cjelini na neki način". Godine 1982. objavio je znamenitu knjigu "The Fractal Geometry".

Fraktal                              Fraktal

Više o fraktalima potražite na sljedećim adresama:

www.csu.edu.au/./complex_systems/complex.html

http://library.thinkquest.org/12740/netscape/index.html

http://library.thinkquest.org/26242/full/index.html

www.exploremath.com

www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/

www.inet.hr/~ivnakic/kaos/index.htm

www.hupi.hr/tino/mandel.htm

http://math.exeter.edu/rparris

www.willamette.edu/~sekino/fractal/fractal.htm

Povećaj    |    Normalno    |    Umanji

Povećaj    |    Normalno    |    Umanji

Koje su mjere za duljinu u metričkom sustavu?

♣

Temeljna jedinica za duljinu je 1 m (1 metar). Uz ovu jedinicu upotrebljavaju se i sljedeće jedinice:
1 km (1 kilometar), 1 hm (1 hektometar), 1 dam (1 dekametar),
1 dm (1 decimetar), 1 cm (1 centimetar) i 1 mm (1 milimetar).

1 km 1 hm 1 dam 1 m 1 dm 1 cm 1 mm
1 = 100 10 = 101 100 = 102 1 000 = 103 10 000 = 104 100 000 = 105 1 000 000 = 106
1 = 100 10 = 101 100 = 102 1 000 = 103 10 000 = 104 100 000 = 105
1 = 100 10 = 101 100 = 102 1 000 = 103 10 000 = 104
1 = 100 10 = 101 100 = 102 1000 = 103
1 = 100 10 = 101 100 = 102
1 = 100 10 = 101
1 = 100

Možeš li zadanu mjernu jedinicu duljine pretvoriti u ostale mjerne jedinice?

♣

 1 km =    hm  dam m dm cm mm
10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

 1 hm =    dam  m dm cm mm
10 100 1 000 10 000 100 000

 1 dam =    m  dm cm mm
10 100 1 000 10 000

 1 m =    dm  cm mm
10 100 1 000

 1 dm =    cm  mm
10 100

 1 cm =    mm 
10

Koje su mjere za tekućinu u metričkom sustavu?

♣

Temeljna jedinica za tekućinu je 1 l (1 litra), a odgovara volumenu 1 dm3, dakle, 1 l = 1 dm3.
Uz ovu jedinicu upotrebljavaju se i sljedeće jedinice:
1 hl (1 hektolitar), 1 dl (1 decilitar), 1 cl (1 centilitar) i 1 ml (1 mililitar).

1 hl 1 l 1 dl 1 cl 1 ml
1 = 100 100 = 102 1 000 = 103 10 000 = 104 100 000 = 105
1 = 100 10 = 101 100 = 102 1 000 = 103
1 = 100 10 = 101 100 = 102
1 = 100 10 = 101
1 = 100

Možeš li zadanu mjernu jedinicu tekućine pretvoriti u ostale mjerne jedinice?

♣

 1 hl =    l  dl cl ml
100 1 000 10 000 100 000

 1 l =    dl  cl ml
10 100 1 000

 1 dl =    cl  ml
10 100

 1 cl =    ml 
10

Koje su mjere za masu u metričkom sustavu?

♣

Temeljna jedinica za masu je 1 kg (1 kilogram), a jedinice iz nje izvedene jesu:
1 t (1 tona), 1 q (1 kvintal), 1 dag (1 dekagram), 1 g (1 gram),
1 dg (1 decigram), 1 cg (1 centigram) i 1 mg (1 miligram).

1 t 1 q 1 kg 1 dag 1 g 1 dg 1 cg 1 mg
1 = 100 10 = 101 1 000 = 103 100 000 = 105 1 000 000 = 106 10 000 000 = 107 100 000 000 = 108 1 000 000 000 = 109
1 = 100 100 = 102 10 000 = 104 100 000 = 105 1 000 000 = 106 10 000 000 = 107 100 000 000 = 108
1 = 100 100 = 102 1 000 = 103 10 000 = 104 100 000 = 105 1 000 000 = 106
1 = 100 10 = 101 100 = 102 1 000 = 103 10 000 = 104
1 = 100 10 = 101 100 = 102 1 000 = 103
1 = 100 10 = 101 100 = 102
1 = 100 10 = 101
1 = 100

Možeš li zadanu mjernu jedinicu mase pretvoriti u ostale mjerne jedinice?

♣

 1 t =    q  kg dag g dg cg mg
10 1 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000

 1 q =    kg  dag g dg cg mg
100 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000

 1 kg =    dag  g dg cg mg
100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

 1 dag =    g   dg   cg   mg 
10 100 1 000 10 000

 1 g =    dg   cg   mg 
10 100 1 000

 1 dg =    cg   mg 
10 100

 1 cg =    mg 
10

Što su platonovska tijela?

♣

Tetraedar      Kocka      Oktaedar      Dodekaedar      Ikosaedar

Koja su tri slavna problema starogrčke matematike?

♣

Tri klasična problema su: kvadratura kruga, trisekcija kuta i udvostručenje (duplikacija) kocke.

Odrediti kvadrat kojemu je površina jednaka površini zadanog kruga polumjera r.
Zbog svoje jednostavne definicije i povezanosti s brojem π postao je tijekom razvoja matematike jedan od najpopularnijih problema.
Rješenje ovisi o tome koja se sredstva mogu uporabiti. Najčešće se misli da se konstruira pomoću ravnala i šestara stranica traženog kvadrata, što odgovara konstruiranju broja π. Pokazalo se da tako formulirana zadaća nema rješenja. Njemački matematičar Lindemann dokazao je 1882. da je π transcendentan broj pa se ne može konstruirati.
Zadani kut treba podijeliti na tri jednaka dijela.
Problem je nastao u 5. stoljeću prije Krista u Grčkoj, a najvažniji je slučaj kada se traži da se rješenje dobije pomoću ravnala i šestara.
Iako se pojedini kutovi mogu tako podijeliti na tri jednaka dijela, starogrčki matematičari nisu uspjeli naći rješenje u općem slučaju.
Descartes je 1637. izrekao pretpostavku da je taj zadatak nerješiv. To je dokazao 1837 Wantzell.
Kada su geometri uvidjeli da su im se svi pokušaji oko elementarnog rješenja izjalovili, pokušali su onda pomoću raznih krivulja.
Prema legendi, Atenjani su poslali izaslanstvo u Delfijsko proročište da sazna kako se mogu spasiti od kuge koja je harala gradom. Naloženo im je da udvostruče veličinu oltara Apolonu.
Oltar je bio kockastog oblika pa su sagradili novi koji je bio dvostruko veći u svakom smjeru. Budući da je bio osam puta većeg obujma, nije udobrovoljio bogove i kuga je nastavila harati. Naći kocku čiji je obujam dvostruko veći od zadane odgovara zadatku traženja trećeg korijena iz 2.
Descartes je 1637. iznio slutnju da se problem ne može riješiti pomoću ravnala i šestara, što je dokazao Wantzell 1837.

Ukratko o Fibonaccijevom nizu

♣

Leonardo iz Pise, zvan Fibonacci, objasnio je u svojoj Liber Abaci ovaj problem:
Netko stavi par zečeva u zatvoreni prostor. Koliko se pari zečeva može dobiti od toga para godišnje, pretpostavimo li da svaki par okoti svakog mjeseca novi par, koji postane plodan od drugog mjeseca života? Uz pretpostavku da su zečevi besmrtni, broj na koncu svakog mjeseca slijedi ovaj niz. (Leonardo je izostavio prvi član, smatrajući da je prvi par stvoren trenutno.) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
Fibonaccijevim nizom ga je nazvao Edouard Lucas 1877. godine, kada ga je upotrijebio (kao i drugi niz koji se sada naziva po njemu), da nađe proste brojeve među Mersenneovim brojevima. Jedna je od čudnih podudarnosti koja se dogodila u povijesti matematike da je problem sa zečevima generirao tako zanimljiv i čaroban niz brojeva. Njegovo je prvo i najjednostavnije svojstvo da je svaki član zbroj dvaju prethodnih članova. Tako će sljedeći član biti 144 + 233 = 377. To je Fibonacci zasigurno znao, makar nigdje nije izrekao. Matematičari ne izriču uvijek ono što je očito.

Ukratko o problemu St. Ivesa

♣

,,Kad sam išla u St. Ives, srela sam čovjeka sa sedam žena. Svaka je žena imala sedam vreća, u svakoj vreći sedam mačaka, a svaka je mačka imala sedam mačića. Mačića, mačaka, vreća i žena, koliko ih je išlo u St. Ives?”
Problem 79 na papirusu Rhind, kojega je napisao pisar Ahmes, a koji datira oko 1650. godine prije Krista navodi:

Kuća 7
Mačaka 14
Miševa 343
Žita 2401
Hekat 16807
Ukupno 19607

Sličnost je upadljiva. Štoviše, na neki način postoji i veza. Leonardo iz Pise, nazivan Fibonacci, u svojoj Liber Abaci (1202. i 1228.) također navodi isti problem. Pierce objašnjava kako se čini da je on iz istoga izvora kao i Kuća koju je sagradio Ivica, u kojoj Leonardo upotrebljava iste brojeve kao i Ahmes i provodi njegov račun na isti način. To navodi na pretpostavku da je taj problem zaista stariji od 3500 godina i da je preživio, u biti nepromjenjen, sva ta vremena.
[Gillings, Mathematics in the Time of Pharaohs, MIT Press, 1972; Eisele, 'Liber Abaci', Scripta Mathematica, v17]

Ukratko o problemu 4 boje

♣

Više od stoljeća nagađanje oko 4 boje bilo je jedan od velikih neriješenih matematičkih problema. Neki matematičari i dalje tvrde da nije riješen na zadovoljavajući način.
U listopadu 1852. godine Francis Guthrie je bojio zemljovid Engleske. Odjednom se zapitao koliko bi boja trebao ako su, kako je normalno, svake dvije susjedne grofovije obojene različitim bojama. Pretpostavio je da je odgovor 4. To je objavio 1878. godine i time pokrenuo bizarni, no ne i netipični razvoj događaja.
Kempe je mislio da je to dokazao 1879. godine, no 11 godina poslije pokazalo se da je njegov dokaz nevaljan. U međuvremenu, 1880. godine, pretpostavka je ponovno dokazana, no i taj je dokaz bio manjkav.
Međutim, ti su se pokušaji pokazali vrijednima za produbljivanje razumijevanjne problema.
Doista, mnogi su se važni pojmovi u teoriji grafova razvili iz tog problema, kojega je bilo vrlo teško riješiti. Do rješenja su napokon 1976. godine došli Wolfgang Haken i Kenneth Appel, koji su pretvorili problem u skup podproblema koje je moglo provjeriti računalo. Matematičari su bili skeptični zbog dugog uvjeravanja oko toga, kao i trajanja, 1200 sati, koliko je trebalo računalu. Samo postojanje dokaza koje će vrlo malo matematičara moći provjeriti nova je pojava u matematici. Drugi je primjer iste pojave svrstavanje u konačne grupe. To je svrstavanje sada gotovo, no potpuni je dokaz raštrkan na tisućama različitih časopisa koji su izlazili tijekom mnogo godina. To se kosi s tradicionalnom idejom dokaza kao dostupnog sredstva potvrđivanja teze te uvjeravanja drugih da je ona istinita.

     
       
     

Ukratko o kalendaru

♣

Mexican Calendar Približni broj dana u godini je 365 dana, 5 sati 48 minuta i 45.9747 sekundi. To je vrijeme potrebno Zemlji da jednom obiđe oko Sunca. Svaka je civilizacija to povezivala s periodima Mjesečevih faza, na primjer između dva mlađaka, što je približno 29 dana, 12 sati, 44 minute i 2.8 sekundi.
U julijanskom kalendaru obične godine imaju 365 dana, ali svaka godina kojoj je broj djeljiv s 4 ima dodatan dan, 29. veljače, što daje 266 dana. Prosječna julijanska godina ima 365.25 dana i griješi približno za jedan dan svakih 128 godina.
Gregorijanski kalendar, koji se danas koristi u većem dijelu svijeta, malo je, ali značajno poboljšanje julijanskog. Sve su godine djeljive sa 100 obične, a ne prestupne, osim godina djeljivih s 400, koje ostaju prestupnima. Gregorijanski kalendar nakupi jedan prekobrojni dan svakih 3320 godina, tako da ga neće trebati podešavati dugo nakon što svi pomremo. Julijanski i gregorijanski kalendar zasnovani su na duljini godine, dakle na Suncu. Za neki dan u godini, prilično točno možemo reći položaj Sunca na nebu, ali ne i položaj Mjeseca.

Nasuprot tomu, muslimanski kalendar daje prednost Mjesecu. On ima 12 mjeseci s naizmjenice 30 i 29 dana. U prestupnoj godini posljednji mjesec ima dodatni dan. Obična godina ima 354 dana, a prestupna 355, pa se početak muslimanske godine stalno pomiče kroz gregorijansku godinu, i obrnuto.

Židovska je godina kombinacija solarne i lunarne godine. Osnovna je lunarna godina od 12 mjeseci s naizmjence 30 i 29 dana, no kada pogreška dostigne puni mjesec, u tu se godinu dodaje 13-i mjesec. Zbog toga je taj kalendar daleko složeniji od svih. Komplikacije nastaju kada se solarna godina i lunarni mjesec zajedno razmatraju, što dobro ilustrira način kao datum Uskrsa, koji ovisi o položaju Mjeseca, skače po kršćanskoj godini. Veliki je Karl Friedrich Gauss pokazao svoje poznavanje brojeva načinivši jednostavne formule za računanje datuma kršćanskih uskršnjih praznika i, što je bilo još teže, datuma židovskih praznika Pashe. [Schocken, The Calculated Confusion of Calendars, Vantage Press, 1976]

Kako glase važne formule?

♣

Kvadrat zbroja

Kvadrat zbroja i razlike:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Kub zbroja i razlike:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Razlika kvadrata:

a2 - b2 = (a - b) · (a + b)

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Zbroj i razlika kubova:

a3 + b3 = (a + b) · (a2 - ab + b2)

a3 - b3 = (a - b) · (a2 + ab + b2)

natrag naprijed naslovnica matematika fizika članci odmor kontakt na vrh
Copyright (c) 2008. Mladen Halapa. This web-site helps secondary-school pupils to learn mathematics and physics. All rights reserved.
Diese Web-Seite hilft den Schülern, Mathe und Physik zu lernen.