PONOVIMO GRADIVO

Prolazeći ispred
ploče Mjeseca, oblaci
putuju brže.
Vladimir Devidé

SKUP REALNIH BROJEVA R

Koji je simbol za skup prirodnih brojeva?

♣

Simbol za skup prirodnih brojeva je slovo N.

Koji je simbol za skup cijelih brojeva?

♣

Simbol za skup cijelih brojeva je slovo Z.

Koji je simbol za skup racionalnih brojeva?

♣

Simbol za skup racionalnih brojeva je slovo Q.

Koji je simbol za skup realnih brojeva?

♣

Simbol za skup realnih brojeva je slovo R.

Koji je simbol za skup kompleksnih brojeva?

♣

Simbol za skup kompleksnih brojeva je slovo C.

Što je prethodnik prirodnog broja n, n ≠ 1?

♣

Prethodnik broja n ∈ N, n ≠ 1, je prirodni broj n - 1.

Što je slijednik (sljedbenik) prirodnog broja n?

♣

Slijednik (sljedbenik) broja n ∈N, je prirodni broj n + 1.

Koji je najmanji element u skupu N?

♣

Najmanji element u skupu N je broj 1.

Zašto skup N nema najvećeg elementa?

♣

Skup N nema najvećeg elementa zato što svaki prirodni broj ima slijednika.

Koje su računske operacije definirane u skupu cijelih brojeva?

♣

U skupu cijelih brojeva definirane su računske operacije: zbrajanje, oduzimanje i množenje.

X =

Y =

Kako se zove rezultat zbrajanja?

♣

Rezultat zbrajanja je zbroj ili suma.

Kako zovemo brojeve koje zbrajamo?

♣

Brojeve koje zbrajamo zovemo pribrojnicima.

Kako glasi zakon komutacije (zamjene) za zbrajanje?

♣

Zbroj se ne mijenja zamjene li pribrojnici mjesta:

a + b = b + a.

Kako glasi zakon asocijacije (združivanja) za zbrajanje?

♣

Zbroj se ne mijenja združimo li pribrojnike na bilo koji način:

a + (b + c) = (a + b) + c.

Koju ćeš vrstu broja dobiti, ako zbrojiš dva prirodna broja?

♣

Rezultat zbrajanja prirodnih brojeva jest prirodan broj:

a, b ∈ N ⇒ a + b ∈ N.

Kako se zovu brojevi koje množimo?

♣

Brojevi koje množimo zovu se faktori: množenik i množitelj.

Kako se zove rezultat množenja?

♣

Rezultat množenja je umnožak ili produkt.

Kako glasi zakon komutacije (zamjene) za množenje?

♣

Umnožak se ne mijenja zamijene li faktori mjesta:

a * b = b * a.

Koju ćeš vrstu broja dobiti, ako pomnožiš dva prirodna broja?

♣

Rezultat množenja prirodnih brojeva jest prirodan broj:

a, b ∈ N ⇒ a * b ∈ N.

Kako glasi zakon asocijacije (združivanja) za množenje?

♣

Umnožak se ne mijenja združimo li faktore na bilo koji način:

a * (b * c) = (a * b) * c.

Zašto skup Z nema najmanjeg, ni najvećeg elementa?

♣

U skupu Z na postoji najmanji ni najveći broj zato što svaki cijeli broj ima prethodnika i slijednika.

Koji brojevi čine skup Z?

♣

Skup Z čine pozitivni brojevi 1, 2, 3, ..., negativni brojevi -1, -2, -3, ... i broj 0.

Koja su dva broja suprotna?

♣

Dva su broja suprotna ako je zbroj nula. Brojevi a i -a su suprotni jer vrijedi:

a + (-a) = -a + a = 0.

Koje se računske operacije mogu izvoditi u skupu Z?

♣

U skupu Z može se zbrajati, oduzimati i množiti.

Koja su najčešća pravila djeljivosti prirodnih brojeva?

♣

2

Broj je djeljiv s 2 ako mu je zadnja znamenka 0, 2, 4, 6, 8 (paran broj).
Broj podijeljen s 2 daje isti ostatak kao njegova zadnja znamenka.

Primjer 1
Broj 7 416 je djeljiv s 2 jer je zadnja znamenka 6, paran broj. Ostatak je 0.

Primjer 2
Broj 9 543 nije djeljiv s 2 jer je zadnja znamenka 3, neparan broj. Ostatak je 1.

3

Broj je djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3.
Broj podijeljen s 3 daje isti ostatak kao i zbroj njegovih znamenaka.

Primjer 1
Broj 12 537 je djeljiv s 3 jer je zbroj znamenaka 1 + 2 + 5 + 3 + 7 = 18 djeljiv s 3. Ostatak je 0.

Primjer 2
Broj 746 nije djeljiv s 3 jer zbroj znamenaka 7 + 4 + 6 = 17 nije djeljiv s 3. Ostatak dijeljenja broja 746 kao i zbroja 17 s 3 je broj 2. Zbroj znamenaka može se reducirati dok se izračunava: oduzimajući 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... ispuštajući dvije znamenke čiji je zbroj 3, 6, 9, 12, 15 ili 18. Tako će za broj 746 biti: 7 + 4 + 6 = 17 , 17 - 15 = 2. Ili 746 , 7 + 4 = 11 , 11 - 9 = 2 , 2 + 6 = 8 , 8 - 6 = 2.

4

Broj je djeljiv s 4 ako mu je dvoznamenkasti završetak djeljiv s 4.
Broj podijeljen s 4 daje isti ostatak kao i njegov dvoznamenkasti završetak.

Primjer 1
Broj 7 416 je djeljiv s 4 jer je njegov dvoznamenkasti završetak 16 djeljiv s 4. Ostatak je 0.

Primjer 2
Broj 915 nije djeljiv s 4 jer njegov dvoznamenkasti završetak 15 nije djeljiv s 4. Ostatak je 3.

5

Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka 0 ili 5.
Broj podijeljen s 5 daje isti ostatak kao njegova zadnja znamenka.

Primjer 1
Broj 7 415 je djeljiv s 5 jer je zadnja znamenka 5. Ostatak je 0.

Primjer 2
Broj 3 519 nije djeljiv s 5 jer je zadnja znamenka 9, a ne 0 ili 5. Ostatak je 4.

6

Broj je djeljiv s 6 ako je djeljiv i s 2 i s 3.

Primjer 1
Broj 4 632 je djeljiv s 6 jer je djeljiv i s 2 i s 3.Ostatak je 0.

Primjer 2
Broj 1 532 nije djeljiv s 6 jer nije djeljiv s 3.

7

Broj je djeljiv sa 7 ako mu je razlika zbroja skupina od tri znamenke na neparnim mjestima odnosno na parnim mjestima, idući s lijeva na desno, djeljiva sa 7.

Primjer 1
Broj 220 988 236 je djeljiv sa 7. Naime, 220 988 236 = 220 988 236 , 220 + 236 - 988 = -532 , -532 : 7 = -76. Budući da je razlika zbroja skupina od tri znamenke na neparnim mjestima odnosno na parnim mjestima -532 djeljiva sa 7, zadani broj je djeljiv sa 7.

Primjer 2
Broj 66 981 194 je djeljiv sa 7. Sada je 66 981 194 = 669 811 940 , 669 + 940 - 988 = 798 , 798 : 7 = 114. Zadnjoj skupini dopišemo 0 pa je to broj 940. Budući da je razlika zbroja skupina od tri znamenke na neparnim mjestima odnosno na parnim mjestima 798 djeljiva sa 7, zadani broj je djeljiv sa 7.

Primjer 3
Broj 4 448 332 je djeljiv sa 7. Odredimo skupine od tri znamenke tako da zadnjoj skupini 2 dopišemo 00. Sada je 4 448 332 = 444 833 200 , 444 + 200 - 833 = -189 , -189 : 7 = -27. Budući da je razlika zbroja skupina od tri znamenke na neparnim mjestima odnosno na parnim mjestima -189 djeljiva sa 7, zadani broj je djeljiv sa 7.

Primjer 4
Broj 824 781 nije djeljiv sa 7. Odredimo skupine od tri znamenke 824 781 = 824 781 , 824 - 781 = 43. Budući da razlika skupina nije djeljiva sa 7, zadani broj nije djeljiv sa 7.

7

Broj je djeljiv sa 7 ako je razlika između broja desetica i dvostruke znamenke jedinica toga broja djeljiva sa 7.

Primjer 1
Broj 2 268 je djeljiv sa 7. Broj desetica je 226, a dvostruka vrijednost znamenke jedinice iznosi 2 * 8 = 16. Tada je 226 - 16 = 210,a to je djeljivo sa 7 pa je i zadani broj djeljiv sa 7.
To se obično vrši postupno ovako: 2 268 , 226 - 2 * 8 = 226 - 16 = 210 , 21 - 2 * 0 = 21 , 2 - 2 * 1 = 0.

Primjer 2
Broj 568 nije djeljiv sa 7. Sada je 56 - 16 = 40,a to nije djeljivo sa 7 pa ni zadani broj nije djeljiv sa 7.

8

Broj je djeljiv s 8 ako mu je troznamenkasti završetak djeljiv s 8.
Broj podijeljen s 8 daje isti ostatak kao i njegov troznamenkasti završetak

Primjer 1
Broj 4 168 je djeljiv s 8 jer je troznamenkasti završetak 168 djeljiv s 8. Ostatak je 0.

Primjer 2
Broj 7 029 nije djeljiv s 8 jer troznamenkasti završetak 029, tj. 29 nije djeljiv s 8. Ostatak je 5.

9

Broj je djeljiv s 9 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 9.
Broj podijeljen s 9 daje isti ostatak kao i zbroj njegovih znamenaka.

Primjer 1
Broj 12 537 je djeljiv s 9 jer je zbroj znamenaka 1 + 2 + 5 + 3 + 7 = 18 djeljiv s 9. Ostatak je 0.

Primjer 2
Broj 746 nije djeljiv s 9 jer zbroj znamenaka 7 + 4 + 6 = 17 nije djeljiv s 9. Ostatak dijeljenja broja 746 i zbroja 17 s 9 je broj 8. Zbroj znamenaka može se reducirati dok se izračunava: oduzimajući 9 ili 18, ispuštajući dvije znamenke čiji je zbroj 9 ili 18. Za broj 746 bit će: 7 + 4 + 6 = 17 , 17 - 9 = 8. Ili 7 + 4 = 11 , 11 - 9 = 2 , 2 + 6 = 8. Ostatak je 8.

10

Broj je djeljiv s 10 ako mu je zadnja znamenka 0.
Broj podijeljen s 10 daje isti ostatak kao njegova zadnja znamenka.

Primjer 1
Broj 7 410 je djeljiv s 10 jer je zadnja znamenka 0. Ostatak je 0.

Primjer 2
Broj 7 413 nije djeljiv s 10 jer zadnja znamenka nije 0. Ostatak je 3.

11

Broj je djeljiv s 11 ako mu je razlika zbroja znamenaka na neparnim mjestima odnosno na parnim mjestima, idući s desna na lijevo, djeljiva s 11.
Broj podijeljen s 11 daje isti ostatak kao razlika zbroja znamenaka na neparnim mjestima odnosno na parnim mjestima, idući s desna na lijevo, ako je potrebno prva se suma uveća za višekratnik od 11 koji je dovoljno velik da to oduzimanje bude moguće.

Primjer 1
Broj 392 414 je djeljiv s 11. Naime, 392 414 = 392414 , (4 + 4 + 9) - (1 + 2 + 3) = 11, a to je djeljivo s 11 pa je zadani broj djeljiv s 11.

Primjer 2
Broj 61 853 je djeljiv s 11 jer je 61 853 = 61 853 , (3 + 8 + 6) - (5 + 1) = 11, a to je djeljivo s 11 pa je zadani broj djeljiv s 11.

Primjer 3
Vrijedi, 7 056 = 7 056 , (6 + 0) - (5 + 7) , prvoj sumi dodajemo 11 , 11 + (6 + 0) - (5 + 7) = 5, a to nije djeljivo s 11 pa zadani broj nije djeljiv s 11. Ostatak je 5.

12

Broj je djeljiv s 12 ako je djeljiv i s 3 i s 4.

Primjer 1
Broj 4 632 je djeljiv s 12 jer je istodobno djeljiv i s 3 i s 4.

Primjer 2
Broj 1 532 nije djeljiv s 12 jer nije djeljiv s 3.

13

Broj je djeljiv s 13 ako mu je razlika zbroja skupina od tri znamenke na neparnim mjestima odnosno na parnim mjestima, idući s lijeva na desno, djeljiva s 13.

Primjer 1
Broj 128 271 741 je djeljiv s 13. Naime, 128 271 741 = 128 271 741 , 128 + 741 - 271 = 598 , 598 : 13 = 46. Budući da je razlika zbroja skupina od tri znamenke na neparnim mjestima odnosno na parnim mjestima 598 djeljiva s 13, zadani broj je djeljiv s 13.

Primjer 2
Broj 10 329 306 je djeljiv s 13. Sada je 10 329 306 = 10 3 293 060 , 103 + 60 - 293 = -130 , -130 : 13 = -10. Zadnjoj skupini dopišemo 0 pa je to broj 60. Budući da je razlika zbroja skupina od tri znamenke na neparnim mjestima odnosno na parnim mjestima -130 djeljiva s 13, zadani broj je djeljiv s 13.

Primjer 3
Broj 1 283 906 je djeljiv s 13. Odredimo skupine od tri znamenke tako da zadnjoj skupini 6 dopišemo 00. Sada je 1 283 906 = 128 390 600 , 128 + 600 - 390 = 338 , 338 : 13 = 26. Budući da je razlika zbroja skupina od tri znamenke na neparnim mjestima odnosno na parnim mjestima 338 djeljiva s 13, zadani broj je djeljiv s 13.

Primjer 4
Broj 11 237 nije djeljiv s 13. Odredimo skupine od tri znamenke 11 237 = 112 370 , 112 - 370 = -258. Budući da razlika skupina nije djeljiva s 13, zadani broj nije djeljiv s 13.

13

Broj je djeljiv s 13 ako je zbroj desetica tog broja i četverostruke znamenke jedinica toga broja djeljiv s 13.

Primjer 1
Broj 1 599 je djeljiv s 13. Broj desetica je 159, a četverostruka vrijednost znamenke jedinice iznosi 4 * 9 = 36. Tada je 159 + 36 = 195, sada je 19 + 4 * 5 = 39, a to je djeljivo s 13 pa je i zadani broj djeljiv s 13.

Primjer 2
Broj 518 nije djeljiv s 13. Sada je 51 + 4 * 8 = 83 , 8 + 4 * 3 = 20, a to nije djeljivo s 13 pa ni zadani broj nije djeljiv s 13.

15

Broj je djeljiv s 15 ako je djeljiv i s 3 i s 5.

Primjer 1
Broj 3 570 je djeljiv s 15 jer je istodobno djeljiv i s 3 i s 5.

Primjer 2
Broj 2 534 nije djeljiv s 15 jer nije djeljiv s 5.

19

Broj je djeljiv s 19 ako je zbroj između broja desetica i dvostruke vrijednosti znamenke jedinica toga broja djeljiv s 19.

Primjer 1
Broj 7 106 je djeljiv s 19. Broj desetica je 710, a dvostruka vrijednost znamenke jedinica iznosi 2 * 6 = 12. Tada je 710 + 12 = 722. Sada je 72 + 2 * 2 = 76 , 7 + 2 * 6 = 19, a to je djeljivo s 19 pa je zadani broj djeljiv s 19.

Primjer 2
Broj 327 nije djeljiv s 19 jer je: 32 + 14 = 46, a to nije djeljivo s 19.

25

Broj je djeljiv s 25 ako mu je dvoznamenkasti završetak djeljiv s 25, tj. ako završava s 00, 25, 50 ili 75.
Broj podijeljen s 25 daje isti ostatak kao i njegov dvoznamenkasti završetak.

Primjer 1
Broj 7 400 je djeljiv s 25 jer je njegov dvoznamenkasti završetak 00 djeljiv s 25.

Primjer 2
Broj 3 629 nije djeljiv s 25 jer je dvoznamenkasti završetak 29. Ostatak je 4.

100

Broj je djeljiv sa 100 ako su mu zadnje dvije znamenke nule, 00.

Primjer 1
Broj 7 400 je djeljiv sa 100 jer su zadnje dvije znamenke nule.

Primjer 2
Broj 7 413 nije djeljiv sa 100 jer zadnje dvije znamenke nisu nule. Ostatak je 13.

125

Broj je djeljiv sa 125 ako mu je troznamenkasti završetak djeljiv sa 125, tj. ako završava s 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 ili 875.
Broj podijeljen sa 125 daje isti ostatak kao i njegov troznamenkasti završetak

Primjer 1
Broj 7 625 je djeljiv sa 125 jer je troznamenkasti završetak 625.

Primjer 2
Broj 7 128 nije djeljiv sa 125 jer je troznamenkasti završetak 128. Ostatak je 3.

1000

Broj je djeljiv s 1000 ako su mu zadnje tri znamenke nule, 000.

Primjer 1
Broj 74 000 je djeljiv s 1000 jer su zadnje tri znamenke nule.

Primjer 2
Broj 50 600 nije djeljiv s 1000 jer zadnje tri znamenke nisu nule.

Kako se čitaju veliki brojevi?

♣

Treba razlikovati europsku i američku terminologiju.

zapis europska terminologija američka terminologija
1 000 000 = 106 milijun milijun
1 000 000 000 = 109 milijarda bilijun
1 000 000 000 000 = 1012 bilijun trilijun
1 000 000 000 000 000 = 1015 bilijarda kvadrilijun
1 000 000 000 000 000 000 = 1018 trilijun kvintilijun
1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021 trilijarda sekstilijun
... ... ...

1 googol = 1.0 × 10100
Googol je broj 10100, nakon 1 slijedi 100 nula.
Izumljen je i broj googolplex.
1 googolplex = 10googol = 1010100

Kako glasi zakon distribucije množenja prema zbrajanju?

♣

Zbroj brojeva množimo brojem tako da svaki pribrojnik množimo tim brojem i dobivene umnoške zbrojimo:

a * (b + c) = a * b + a * c

(a + b) * c = a * c + b * c

Kako se zapisuju rimski brojevi?

♣

Oznake rimskih brojeva su:

arapski rimski
1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M

Uzastopno se koriste najviše tri ista znaka.
Točno: III, XXX, CCC, MMM.
Vrijednost znamenaka se zbraja ako su napisane tako da vrijednost lijeve znamenke nije manja od desne.
Može se zbrojiti najviše tri jednake znamenke: I, X, L, C i M.
Vrijedi: XII = X + I + I = 10 + 1 + 1 = 12.
Vrijednost lijeve znamenke oduzima se od desne znamenke ako su znamenke napisane tako da je vrijednost lijeve znamenke manja od desne.
Oduzeti možemo samo jednu znamenku.
Vrijedi: IX = X - I = 10 - 1 = 9.

Koje metode postoje za rješavanje dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice?

♣

To su: metoda supstitucije, metoda komparacije, metoda suprotnih koeficijenata, grafička metoda, metoda neodređenih koeficijenata, metoda pretpostavke, metoda determinanata ...ma, ima ih još, ali se ne možem sjetiti :)

Kako glasi definicija prostog (prim) broja?

♣

Prost (ili prim) broj je prirodni broj veći od 1 koji je djeljiv samo s 1 i samim sobom.
Prost broj ima točno dva djelitelja: broj 1 i samog sebe.
Prosti brojevi su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

Kako glasi definicija složenog broja?

♣

Složen broj je prirodni broj veći od 1 koji je djeljiv s 1, samim sobom i sa barem još jednim brojem.
Složen broj ima najmanje tri djelitelja.
Složeni brojevi su oni prirodni brojevi koji nisu prosti.
Složeni brojevi su: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, ... Složenih brojeva ima beskonačno mnogo.

Koji su parni, a koji neparni brojevi?

♣

Paran broj je djeljiv s 2. Formula je 2n. Neparan broj nije djeljiv s 2. Formula je 2n - 1.

Što je najveća zajednička mjera dva ili više broja?

♣

Najveća zajednička mjera NZM dva ili više broja je najveći broj s kojim su djeljivi zadani brojevi.
Prvi broj: Drugi broj: Treći broj:

Ako računate za dva broja, treći ne unosi!

je najveća zajednička mjera NZM

Je li broj 1 prost ili složen broj?

♣

Broj 1 nije ni prost ni složen broj.

Koji su brojevi relativno prosti?

♣

Za brojeve a i b kažemo da su relativno prosti ako im je najveća zajednička mjera jednaka 1.

M(a,b) = 1.

Na primjer, brojevi 8 i 9 su relativno prosti:
M(8,9) = 1.

Kako glasi definicija iracionalnih brojeva?

♣

Brojevi koji nisu racionalni, tj. koji se ne mogu zapisati u obliku
zovu se iracionalni brojevi, a njihov skup označavamo slovom I.

Kako se razlomak pretvara u decimalni broj?

♣

Svaki razlomak može se pretvoriti u decimalni broj tako da se brojnik podijeli nazivnikom.

Kakav može biti decimalni zapis racionalnog broja?

♣

Ako je broj racionalan, njegov decimalni zapis može biti:

Kako se periodičan decimalni broj pretvara u razlomak?

♣

Periodičan decimalni broj pretvara se u razlomak tako da se u brojnik napiše period, a u nazivnik broj koji se sastoji od toliko devetica koliko ima znamenaka u periodu.

Kako se mješoviti periodičan decimalni broj pretvara u razlomak?

♣

Mješoviti periodičan decimalni broj pretvara se u razlomak tako da se u brojnik napiše razlika između broja što ga čine sve znamenke pretperioda i perioda zajedno i broja što ga čine znamenke pretperioda, a u nazivnik broj koji ima toliko devetica koliko ima znamenaka u periodu i toliko nula koliko ima znamenaka u pretperiodu.

Koja je veza između metričkog sustava mjera za duljinu i angloameričkog sustava mjera za duljinu?

♣

yard (yd) foot (ft) inch (in) iznos u metrima
1 3 36 0.9144
1 12 0.3048
1 0.0254

Pretvaranje jedinica za duljinu

1 Jedinicu koju želiš pretvoriti izaberi iz tablice "PRETVORI".
2 Jedinicu u koju želiš pretvoriti izaberi iz tablice "U".
3 Unesi broj i klikni gumb "Je".

PRETVORI    U  
centimetar = 1 centimetar
Unesi
1

Kako se radijani pretvaraju u stupnjeve i obratno, stupnjevi u radijane?

♣

Radijane pretvaramo u stupnjeve po formuli

Stupnjeve pretvaramo u radijane po formuli

Slovo s označava stupnjeve, t radijane.

Kako glase algoritmi za osnovne računske operacije s razlomcima?

♣

Zbrajanje razlomaka:

Oduzimanje razlomaka:

Množenje razlomaka:

Dijeljenje razlomaka:

Operacije s razlomcima


Skrati razlomak

Nabrojite pravilne poliedre!

♣

Pravilni poliedri - Platonova tijela

naprijed naslovnica matematika fizika članci odmor kontakt na vrh
Copyright (c) 2008. Mladen Halapa. This web-site helps secondary-school pupils to learn mathematics and physics. All rights reserved.
Diese Web-Seite hilft den Schülern, Mathe und Physik zu lernen.